Ipek
New member
Sorunun ikinci ve daha tartışmalı tarafı burada.
Matematik forumlarında insanların aynı soruya farklı yaklaşması gerçekten gözlemlenebilir. Bir kişi doğrudan cebirsel bağıntıyı kullanabilir, başka biri Gamma fonksiyonunu araştırabilir, bir başkası bilgisayar cebir sisteminin çıktısını kontrol edebilir. Ancak bu farklılıkları erkeklerin “veri odaklı”, kadınların ise “duygusal” olması şeklinde açıklamak bilimsel olarak sağlam bir yöntem değildir.
Özellikle matematiksel muhakeme gibi belirli bir bilişsel beceriyi cinsiyete göre kategorize etmek, bireyler arasındaki geniş farklılıkları gözden kaçırabilir.
Üstelik burada daha ilginç bir nokta var: “objektif yaklaşım” ile “toplumsal yaklaşım” birbirinin zıddı olmak zorunda değildir.
Örneğin bir erkek matematik öğrencisi soruyu “Gamma(0) neden tanımsız?” şeklinde ele alabilir. Başka bir erkek öğrenci “Benim ders kitabım faktöriyeli yalnızca doğal sayılarda tanımlıyor” diyebilir.
Bir kadın matematik öğrencisi ise aynı teknik sonuca ulaşırken, “Bu tanım neden böyle kurulmuş?” sorusunu da sorabilir.
Bunların hiçbiri cinsiyetin zorunlu sonucu değildir. Aynı çeşitlilik kadınlar arasında da erkekler arasında da görülebilir.
Dolayısıyla burada daha anlamlı karşılaştırma cinsiyetler arasında değil, problem çözme yaklaşımları arasında yapılabilir.
Veri odaklı yaklaşım ile kavramsal yaklaşımın gerçek farkı
Birinci yaklaşım doğrudan matematiksel veriye bakar:
n! = Γ(n+1)
ise
(−1)! = Γ(0)
olmalıdır.
NIST'e göre Gamma fonksiyonunun 0'da kutbu vardır. O halde standart tanım kapsamında değer mevcut değildir. DLMF+1
İkinci yaklaşım ise daha kavramsaldır:
“Faktöriyel neden negatif tam sayılara genişletilemiyor?”
Bu soru da son derece değerlidir.
Çünkü Gamma fonksiyonunun sağladığı genelleme rastgele bir formül değildir. Gamma fonksiyonu faktöriyel bağıntısını çok daha geniş bir alana taşır; fakat bunu yaparken bazı noktalar kaçınılmaz biçimde tekillik haline gelir.
NIST'in kaynakları Gamma fonksiyonunun 0, −1, −2 gibi noktalarda kutuplara sahip olduğunu açıkça belirtmektedir. DLMF
Dolayısıyla “neden cevap yok?” sorusu, aslında “hangi genellemenin hangi matematiksel koşullarda geçerli olduğunu” anlamamızı sağlar.
Bilgisayar neden bazen farklı cevaplar verebilir?
Bu da tartışmayı ilginç hale getiren başka bir nokta.
Bir matematik yazılımına factorial(-1) yazdığınızda programın verdiği sonuç, yalnızca matematiğin değil, yazılımın kullandığı fonksiyon tanımının ve hata işleme biçiminin de sonucudur.
Bir sistem “undefined”, “complex infinity”, hata veya başka bir sembolik ifade gösterebilir. Burada önemli olan yazılımın ekranda ne yazdığı değil, o çıktının hangi matematiksel tanıma dayandığıdır.
Wolfram'ın faktöriyel açıklamasında negatif tam sayıların Gamma fonksiyonu üzerinden genelleştirildiğinde tekillik ortaya çıktığı belirtilmektedir. Wolfram MathWorld
Yani bilgisayar sonucu kontrol etmek için yararlı olabilir; fakat matematiksel tanımın yerine geçmez.
Asıl cevap: Eksi 1 faktöriyel kaçtır?
Standart matematiksel kullanım açısından en doğru kısa cevap:
(−1)! tanımsızdır.
Bunun iki temel gerekçesi vardır.
Birincisi, klasik faktöriyel tanımı negatif tam sayıları kapsamaz.
İkincisi, faktöriyeli Gamma fonksiyonuyla genelleştirirsek:
(−1)! = Γ(0)
elde edilir ve Γ(0) bir kutup olduğu için sonlu bir değer taşımaz. DLMF+1
Dolayısıyla “cevap sonsuzdur” demek yerine “(-1)! standart anlamda tanımsızdır; Gamma uzatmasında Γ(0) bir kutuptur” demek çok daha hassas olur.
Peki siz hangi yöntemi kullanırdınız?
Bence bu soruyu ilginç yapan şey, cevabın kendisinden çok cevaba nasıl ulaştığımız.
Bir öğrenciye yalnızca “(-1)! tanımsızdır” demek yeterli mi?
Yoksa 0! = 1 kuralından başlayıp neden geriye doğru gidilemediğini göstermek mi daha öğretici?
Bir başka soru da şu: Gamma fonksiyonunu öğrenmeden önce “negatif faktöriyel yoktur” demek yeterli bir açıklama mıdır, yoksa Gamma fonksiyonunun kutuplarını göstermek kavramı gerçekten daha iyi mi açıklıyor?
Ve belki de en önemlisi: Matematik problemlerinde insanların farklı düşünme biçimlerini cinsiyet üzerinden açıklamak yerine, cebirsel, geometrik, sayısal, sezgisel ve analitik yaklaşımlar üzerinden sınıflandırmak daha anlamlı olmaz mı?
Benim açımdan en güçlü sonuç şu: (-1)! sorusu basit bir hesaplama sorusu gibi görünse de aslında matematikte tanım, genelleme ve sınır kavramlarının birbirinden neden ayrılması gerektiğini gösteren güzel bir örnek. Bir formülü geriye doğru çalıştırmak her zaman geçerli bir genelleme üretmez. Matematikte hangi adımın hangi koşullarda geçerli olduğunu bilmek, sonucun kendisi kadar önemlidir.
Kaynaklar
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5 – Gamma Function: Gamma fonksiyonunun tanımı, analitik devamı ve negatif olmayan/negatif tam sayı noktalarındaki kutupları. DLMF+1
- NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures – Gamma Function: Gamma fonksiyonu ile faktöriyel arasındaki ilişki ve faktöriyel ile Gamma fonksiyonunun tanım alanlarına ilişkin açıklamalar. xlinux
- Wolfram MathWorld – Factorial: Faktöriyel tanımı, 0! = 1, Gamma fonksiyonuyla genelleştirme ve negatif tam sayıların durumu. Wolfram MathWorld
- Wolfram MathWorld – Gamma Function: Gamma fonksiyonunun 0, −1, −2, ... noktalarındaki kutupları ve faktöriyel ilişkisi. Wolfram MathWorld
Matematik forumlarında insanların aynı soruya farklı yaklaşması gerçekten gözlemlenebilir. Bir kişi doğrudan cebirsel bağıntıyı kullanabilir, başka biri Gamma fonksiyonunu araştırabilir, bir başkası bilgisayar cebir sisteminin çıktısını kontrol edebilir. Ancak bu farklılıkları erkeklerin “veri odaklı”, kadınların ise “duygusal” olması şeklinde açıklamak bilimsel olarak sağlam bir yöntem değildir.
Özellikle matematiksel muhakeme gibi belirli bir bilişsel beceriyi cinsiyete göre kategorize etmek, bireyler arasındaki geniş farklılıkları gözden kaçırabilir.
Üstelik burada daha ilginç bir nokta var: “objektif yaklaşım” ile “toplumsal yaklaşım” birbirinin zıddı olmak zorunda değildir.
Örneğin bir erkek matematik öğrencisi soruyu “Gamma(0) neden tanımsız?” şeklinde ele alabilir. Başka bir erkek öğrenci “Benim ders kitabım faktöriyeli yalnızca doğal sayılarda tanımlıyor” diyebilir.
Bir kadın matematik öğrencisi ise aynı teknik sonuca ulaşırken, “Bu tanım neden böyle kurulmuş?” sorusunu da sorabilir.
Bunların hiçbiri cinsiyetin zorunlu sonucu değildir. Aynı çeşitlilik kadınlar arasında da erkekler arasında da görülebilir.
Dolayısıyla burada daha anlamlı karşılaştırma cinsiyetler arasında değil, problem çözme yaklaşımları arasında yapılabilir.
Veri odaklı yaklaşım ile kavramsal yaklaşımın gerçek farkı
Birinci yaklaşım doğrudan matematiksel veriye bakar:
n! = Γ(n+1)
ise
(−1)! = Γ(0)
olmalıdır.
NIST'e göre Gamma fonksiyonunun 0'da kutbu vardır. O halde standart tanım kapsamında değer mevcut değildir. DLMF+1
İkinci yaklaşım ise daha kavramsaldır:
“Faktöriyel neden negatif tam sayılara genişletilemiyor?”
Bu soru da son derece değerlidir.
Çünkü Gamma fonksiyonunun sağladığı genelleme rastgele bir formül değildir. Gamma fonksiyonu faktöriyel bağıntısını çok daha geniş bir alana taşır; fakat bunu yaparken bazı noktalar kaçınılmaz biçimde tekillik haline gelir.
NIST'in kaynakları Gamma fonksiyonunun 0, −1, −2 gibi noktalarda kutuplara sahip olduğunu açıkça belirtmektedir. DLMF
Dolayısıyla “neden cevap yok?” sorusu, aslında “hangi genellemenin hangi matematiksel koşullarda geçerli olduğunu” anlamamızı sağlar.
Bilgisayar neden bazen farklı cevaplar verebilir?
Bu da tartışmayı ilginç hale getiren başka bir nokta.
Bir matematik yazılımına factorial(-1) yazdığınızda programın verdiği sonuç, yalnızca matematiğin değil, yazılımın kullandığı fonksiyon tanımının ve hata işleme biçiminin de sonucudur.
Bir sistem “undefined”, “complex infinity”, hata veya başka bir sembolik ifade gösterebilir. Burada önemli olan yazılımın ekranda ne yazdığı değil, o çıktının hangi matematiksel tanıma dayandığıdır.
Wolfram'ın faktöriyel açıklamasında negatif tam sayıların Gamma fonksiyonu üzerinden genelleştirildiğinde tekillik ortaya çıktığı belirtilmektedir. Wolfram MathWorld
Yani bilgisayar sonucu kontrol etmek için yararlı olabilir; fakat matematiksel tanımın yerine geçmez.
Asıl cevap: Eksi 1 faktöriyel kaçtır?
Standart matematiksel kullanım açısından en doğru kısa cevap:
(−1)! tanımsızdır.
Bunun iki temel gerekçesi vardır.
Birincisi, klasik faktöriyel tanımı negatif tam sayıları kapsamaz.
İkincisi, faktöriyeli Gamma fonksiyonuyla genelleştirirsek:
(−1)! = Γ(0)
elde edilir ve Γ(0) bir kutup olduğu için sonlu bir değer taşımaz. DLMF+1
Dolayısıyla “cevap sonsuzdur” demek yerine “(-1)! standart anlamda tanımsızdır; Gamma uzatmasında Γ(0) bir kutuptur” demek çok daha hassas olur.
Peki siz hangi yöntemi kullanırdınız?
Bence bu soruyu ilginç yapan şey, cevabın kendisinden çok cevaba nasıl ulaştığımız.
Bir öğrenciye yalnızca “(-1)! tanımsızdır” demek yeterli mi?
Yoksa 0! = 1 kuralından başlayıp neden geriye doğru gidilemediğini göstermek mi daha öğretici?
Bir başka soru da şu: Gamma fonksiyonunu öğrenmeden önce “negatif faktöriyel yoktur” demek yeterli bir açıklama mıdır, yoksa Gamma fonksiyonunun kutuplarını göstermek kavramı gerçekten daha iyi mi açıklıyor?
Ve belki de en önemlisi: Matematik problemlerinde insanların farklı düşünme biçimlerini cinsiyet üzerinden açıklamak yerine, cebirsel, geometrik, sayısal, sezgisel ve analitik yaklaşımlar üzerinden sınıflandırmak daha anlamlı olmaz mı?
Benim açımdan en güçlü sonuç şu: (-1)! sorusu basit bir hesaplama sorusu gibi görünse de aslında matematikte tanım, genelleme ve sınır kavramlarının birbirinden neden ayrılması gerektiğini gösteren güzel bir örnek. Bir formülü geriye doğru çalıştırmak her zaman geçerli bir genelleme üretmez. Matematikte hangi adımın hangi koşullarda geçerli olduğunu bilmek, sonucun kendisi kadar önemlidir.
Kaynaklar
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5 – Gamma Function: Gamma fonksiyonunun tanımı, analitik devamı ve negatif olmayan/negatif tam sayı noktalarındaki kutupları. DLMF+1
- NIST Dictionary of Algorithms and Data Structures – Gamma Function: Gamma fonksiyonu ile faktöriyel arasındaki ilişki ve faktöriyel ile Gamma fonksiyonunun tanım alanlarına ilişkin açıklamalar. xlinux
- Wolfram MathWorld – Factorial: Faktöriyel tanımı, 0! = 1, Gamma fonksiyonuyla genelleştirme ve negatif tam sayıların durumu. Wolfram MathWorld
- Wolfram MathWorld – Gamma Function: Gamma fonksiyonunun 0, −1, −2, ... noktalarındaki kutupları ve faktöriyel ilişkisi. Wolfram MathWorld